Question

某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門(mén)提出以下三種方案：
方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；
方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56 000元；
方案3：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)損失達(dá)60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為10000元．
（1）試求方案3中損失費(fèi)ξ（隨機(jī)變量）的分布列；
（2）試比較哪一種方案好．

Answer 1

【答案】分析：（1）方案3中損失費(fèi)ξ的取值為60000和10000，利用相互獨(dú)立事件的概率求出其概率即可．
（2）比較哪一種方案好方案一可直接算出其損失，方案二和三中求其損失的期望值，再與方案1比較即可．
解答：解：（1）在方案3中，記“甲河流發(fā)生洪水”為事件A，“乙河流發(fā)生洪水”為事件B，
則P（A）=0.25，P（B）=0.18，
所以，有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，
兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P（A•B）=0.045，
都不發(fā)生洪水的概率為P（•）=0.75×0.82=0.615，
設(shè)損失費(fèi)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的分布列為：


（2）對(duì)方案1來(lái)說(shuō)，花費(fèi)4000元；
對(duì)方案2來(lái)說(shuō)，建圍墻需花費(fèi)1000元，它只能抵御一條河流的洪水，
但當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)，損失約56000元，而兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P=0.25×0.18=0.045．
所以，該方案中可能的花費(fèi)為：1000+56000×0.045=3520（元）．
對(duì)于方案來(lái)說(shuō)，損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），
比較可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．
點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率，隨機(jī)變量的分布列和期望，以及利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．