Question

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足①若x＞1，則f（x）＜0；②f=1；③對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集為     ．

Answer 1

【答案】分析：用函數(shù)的單調(diào)性求解，先證明單調(diào)性，設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則有f（x₂）=f（）=f（）+f（x₁），f（x₂）-f（x₁））=f（）＜0，得到f（x）是減函數(shù)，然后構(gòu)造單調(diào)性模型，由f=1求得2=2f=f（），再令x=y=1，求得f（1）=0，最后用定義求解，要注意所在的區(qū)間．
解答：解：∵f=1
∴2=2f=f（）
令x=y=1
∴f（1）=0
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（5-x）≥-2可轉(zhuǎn)化為：
f（x（5-x））+f（）≥0
∴f（x（5-x））≥f（1）
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴f（x₂）=f（）=f（）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁））=f（）＜0
∴f（x）是減函數(shù)
∴
解得：0＜x≤1或4≤x＜5
故答案為：（0，1]∪[4，5）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)所構(gòu)造不等式的解法，一般來(lái)講，這類(lèi)不等式的解法利用函數(shù)的單調(diào)性定義求解，要注意利用主條件等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性模型，將函數(shù)值關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系解決．