Question

如圖，多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積；
（3）求證：CE⊥AF．

Answer 1

分析：（1）由多面體AEDBFC的三視圖知，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形，由三角形中位線的性質(zhì)得：MN∥EC，從而證得MN∥平面CDEF．
（2）先證四邊形CDEF是矩形，利用面面垂直的性質(zhì)證明并求出棱錐的高，代入體積公式計算棱錐的體積．
（3）由BC⊥平面ABEF，證明BC⊥AF，面ABFE是正方形，證得EB⊥AF，進而AF⊥面BCE，結(jié)論得證．

解答：證明：（1）：由多面體AEDBFC的三視圖知，
三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰直
角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，
側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．
連接EB，則M是EB的中點，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（2）因為DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，
∴四邊形CDEF是矩形，
且側(cè)面CDEF⊥平面DAE
取DE的中點H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴AH=

2

，
且AH⊥平面CDEF．
所以多面體A-CDEF的體積V=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

．
（3）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AF，
∵面ABFE是正方形，
∴EB⊥AF，
∴AF⊥面BCE，
∴CE⊥AF．

點評：本題考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，利用三視圖求面積和體積．