已知直線l:
2x
a
+
y
b
=2(a>2,b>1)
與曲線x2+y2-2x-2y+1=0相切且直線l交與x軸交于A點(diǎn),交y軸于點(diǎn)B,則△AOB面積的最小值為
3+2
2
3+2
2
分析:把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程后,找出圓心坐標(biāo)和半徑,設(shè)出A和B的坐標(biāo),利用A和B的坐標(biāo)寫出直線AB的方程,因?yàn)橹本AB與圓相切,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d,并讓d等于半徑r,列出關(guān)于a和b的關(guān)系式,然后設(shè)a-2等于m大于0,b-1等于n大于0,利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積,利用基本不等式求出面積的最小值即可.
解答:解:將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得(x-1)2+(y-1)2=1,圓心C(1,1),半徑r=1
∵直線l:
2x
a
+
y
b
=2(a>2,b>1)
,
∴A(a,0),B(0,2b),
圓心C(1,1)到直線AB的距離d=r=1即
|2b+a-2ab|
a2+4b2
=1
,兩邊平方化簡(jiǎn)得(a-2)(b-1)=1;
由a>2,b>1,可設(shè)a-2=m>0,b-1=n>0,且mn=1,
所以S△AOB=ab=(m+2)(n+1)=mn+m+2n+2≥mn+2
2mn
+2=3+2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)m=n即a=b+1時(shí)取等號(hào).
所以三角形AOB面積的最小值為3+2
2

故答案為:3+2
2
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件,靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值,會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知直線l:
2x
a
+
y
b
=2(a>2,b>1)
與曲線x2+y2-2x-2y+1=0相切且直線l交與x軸交于A點(diǎn),交y軸于點(diǎn)B,則△AOB面積的最小值為______.

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