（本題滿分12分）

已知函數(shù)

   （1）若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

   （2）當a>0時，試討論這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．

（1）a>1

（2）有且僅有兩個交點


解析:

（1）

若使存在單調遞減區(qū)間，則上有解．……1分

而當

問題轉化為上有解，故a大于函數(shù)上的最小值．

                                                                                           ………………3分

又上的最小值為-1，所以a>1．……4分

   （2）令

函數(shù)的交點個數(shù)即為函數(shù)的零點的個數(shù)．……5分

令解得

隨著x的變化，的變化情況如下表：

-

0

+

單調遞減

極（最）小值2+lna

單調遞增

                     …………7分

①當恒大于0，函數(shù)無零點．……8分

②當由上表，函數(shù)有且僅有一個零點．

                            ……9分

③顯然

內單調遞減，

所以內有且僅有一個零點                 …………10分

當

由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度的快慢，知存在

使得

從而

因而

又內單調遞增，上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，

所以內有且僅有一個零點．   …………11分

因此，有且僅有兩個零點．

綜上，的圖象無交點；當的圖象有且僅有一個交點；的圖像有且僅有兩個交點．……12分

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π2
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如圖所示，直二面角中，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點，且⊥平面

（Ⅰ）求證：⊥平面

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求點到平面的距離.

 

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