Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC是等邊三角形，以AC為直徑做圓交BC與D，作DE⊥AC交圓與E．
（1）求證：△ADE是等邊三角形
（2）求S_△ABC：S_△ADE．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形可得三內(nèi)角都相等，都為60°，又AC為圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得AD垂直于BC，求出∠DAC=30°，從而得到∠ADE=60°，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠AED=60°，利用三角形的內(nèi)角和定理可得第三個(gè)角也為60°，得到三角形ADE三個(gè)內(nèi)角相等，從而得證；
（2）由兩三角形都為等邊三角形可得三角形ABC與三角形ADE相似，由（1）得到AD與BC垂直，利用三線合一可得D為BC中點(diǎn)，設(shè)出三角形ABC三邊都為1，可求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形ACD中利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，求出對(duì)應(yīng)邊AB與AD的比值，平方可求出兩三角形的面積比．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，
∵AC為圓的直徑，∴∠ADC=90°，
在直角三角形中，∠ACB=60°可得∠DAC=30°，
∴∠ADE=60°，
又∠AED與∠ACB為圓的圓周角，且都對(duì)一條弧

AD

，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=180-60°-60°=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED，
∴AD=DE=AE，即△AED為等邊三角形；
（2）設(shè)BC=AB=AC=1，
由（1）得AD⊥BC，且△ABC為等邊三角形，
∴D為BC的中點(diǎn)，即DB=CD=

1

2

，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理求得：AD=

3

2

，
而△ABC∽△ADE，
所以S_△ABC：S_△ADE=AB²：AD²=(

1

3 2

)2=4：3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生結(jié)合圖形，利用轉(zhuǎn)化的思想，分析已知與未知的聯(lián)系，從而達(dá)到解決問題的目的．熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是第一問證明的關(guān)鍵，第二問的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方．