Question

在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（cos2B，cosB），且

m

，

n

向量共線．
（1）求角B的大�。�
（2）如果b=1，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)共線向量的坐標滿足的關(guān)系得到一個關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，即可求出tan2B的值，然后由銳角B的范圍求出2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由b，cosB的值，利用余弦定理及基本不等式即可求出ac的最大值，根據(jù)三角形的面積公式進而得到三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由

m

，

n

向量共線得到：2sinBcosB=

3

cos2B，即tan2B=

3

，
由B∈（0，

π

2

）得到：2B∈（0，π），
所以2B=

π

3

，即B=

π

6

；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即1=a²+c²-

3

ac≥2ac-

3

ac，當且僅當a=c時取等號，
所以ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
則S_△ABC=

1

2

acsinB≤

2+ 3

4

，即S_△ABC的最大值為

2+ 3

4

．

點評：此題考查學生掌握向量關(guān)系時滿足的條件，靈活運用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．