Question

已知曲線y=

1

3

x3上一點(diǎn)M處的切線與直線y=3-x垂直，則此切線的方程為

y=x±

2

3

．

Answer 1

分析：利用切線與直線y=3-x垂直，得到切線的斜率，也就是曲線在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)計(jì)算，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）
∵切線與直線y=3-x垂直
∴切線的斜率為1
∴曲線在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)y′=x₀²=1，即x₀=±1．
當(dāng)x₀=1時(shí)，y₀=

1

3

，利用點(diǎn)斜式得到切線方程：y=x-

2

3

；
當(dāng)x₀=-1時(shí)，y₀=-

1

3

，利用點(diǎn)斜式得到切線方程：y=x+

2

3

．
綜上所述：切線的方程為y=x±

2

3

．
故答案為：y=x±

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及兩條直線垂直，其斜率的關(guān)系，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．