已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為4，且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（2,0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否另存在一個(gè)定點(diǎn)P使得始終平分？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，先由已知條件“短軸長(zhǎng)為”，求得，再由已知條件“有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合”，求得，則，從而得到橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立方程組求得(※)，假設(shè)存在定點(diǎn)使得始終平分，則有，將對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合直線方程以及(※)化簡(jiǎn)求得，從而無(wú)論如何取值，只要就可保證式子成立，進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：(Ⅰ)∵橢圓的短軸長(zhǎng)為，
∴，解得，
又拋物線的焦點(diǎn)為，
∴，則，
∴所求橢圓方程為：．
(Ⅱ)設(shè)：，代入橢圓方程整理得：
則，假設(shè)存在定點(diǎn)使得始終平分，
則
①，
要使得①對(duì)于恒成立，則，
故存在定點(diǎn)使得始終平分，它的坐標(biāo)為．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（13分）如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長(zhǎng)2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓。

（1）若最大拱高h(yuǎn)為6 m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)是梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價(jià)最少。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖,已知橢圓的長(zhǎng)軸為AB,過(guò)點(diǎn)B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點(diǎn),且

（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn), 軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn),為的中點(diǎn)，判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1:3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問(wèn)在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

矩形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，是線段的四等分點(diǎn),是線段的四等分點(diǎn).設(shè)直線與,與,與的交點(diǎn)依次為.

（1）以為長(zhǎng)軸，以為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點(diǎn)都在（1）中的橢圓Q上，請(qǐng)以點(diǎn)L為例，給出證明（即證明點(diǎn)L在橢圓Q上）.
（3）設(shè)線段的（等分點(diǎn)從左向右依次為，線段的等分點(diǎn)從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上？（寫(xiě)出結(jié)果即可，此問(wèn)不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，過(guò)兩點(diǎn)分別作其準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，傾斜角為，若，則
①；．②，
③， ④ ⑤
其中結(jié)論正確的序號(hào)為                

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