Question

如圖．一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落到A或B或C．已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C．則分別設(shè)為1，2，3等獎(jiǎng)．
（1）求投入小球1次獲得1等獎(jiǎng)的概率；
（2）已知獲得1，2，3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%，70%，90%．記隨機(jī)變量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎(jiǎng)的折扣率．求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（3）若有3人次（投入1球?yàn)?人次）參加促銷(xiāo)活動(dòng)，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次．求P（η=2）．（即求3次中有二次獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率）

Answer 1

分析：（1）投入小球1次獲得1等獎(jiǎng)有兩條線路，根據(jù)小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的，從而根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即求出所求；
（2）由題意知隨變量ξ為獲得k等獎(jiǎng)的折扣，則ξ的可能取值是50%，70%，90%，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫(xiě)出變量的分布列，做出期望．
（3）根據(jù)第一問(wèn)可以得到獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率，根據(jù)小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．可以把獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的人次看做符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）投入小球1次獲得1等獎(jiǎng)的概率為

1

2

（

1

4

+

1

4

×

1

2

）=

3

16

．-------------------4’
（2）由題意得ξ的分布列為

ξ	50%	70%	90%
P	3 16	3 8	7 16

則Eξ=

3

16

×50%+

3

8

×70%+

7

16

×90%=

3

4

------------------------------------------9’
（3）由（2）可知，獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為

3

16

+

3

8

=

9

16

由題意得η：B（3，

9

16

），
則P（η=2）=

C

2 3

(

9

16

)2(1-

9

16

)=

1701

4096

．------------------------------------------14’

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．