Question

已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為2，則其體積的最大值為（　　）

• A、4
• B、

  4

  3

• C、2
• D、

  2

  3

Answer 1

分析：設(shè)H為底面△ABC的中心，延長AH交BC于E，連接PH．設(shè)AB=2x，則AH=

2 3

3

x，得三棱錐P-ABC體積，最后利用基本不等式求最值，可得正三棱錐P-ABC體積的最大值．

解答：解：設(shè)H為底面△ABC的中心，延長AH交BC于E，連接PH
∵三棱錐P-ABC是正三棱錐
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC邊上的中線
設(shè)AB=2x，則AH=

2

3

AE=

2

3

•

3

x=

2 3

3

x
Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=2

1- 1 3 x2

∴三棱錐P-ABC體積V=

1

3

S_△ABC•AH=

1

3

×

3

4

（2x）²×2

1- 1 3 x2

=

4

3

x²

3-x2

∵x²

3-x2

=2

1 2 x2• 1 2 x2•(3-x2)

≤2×

( 3 3 )3

=2，
可得V=

4

3

x²

3-x2

≤

4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x²=3-x²時，
即x=

2

時，正三棱錐P-ABC體積的最大值為

4

3

．
故選B．

點(diǎn)評：本題給出正三棱錐的側(cè)棱長，求體積的最大值．著重考查了正三棱錐的性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．