Question

【題目】設(shè)，則使得的的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x≥1時(shí)，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)分析可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，則原不等式變形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），結(jié)合單調(diào)性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范圍，即可得答案．

詳解：根據(jù)題意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，

分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1與函數(shù)y=2（ex﹣1+e1﹣x）都關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

則函數(shù)f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），

當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），

又由x≥1，則有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，

則有f′（x）＜0，

即函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，

f（x+1）＜f（2x﹣2）f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）

f（|x|）＜f（|2x﹣3|）|x|＞|2x﹣3|，

變形可得：x2﹣4x+3＜0，

解可得1＜x＜3，

即不等式的解集為（1，3）；

故選：B．