Question

在一個(gè)不透明的盒子中，放有標(biāo)號分別為1，2，3的三個(gè)大小相同的小球，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后取得兩個(gè)小球，其標(biāo)號分別為x、y，記ξ=|x-2|+|x-y|．
（1）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得到x、y可能的取值為1、2、3，根據(jù)x和y的值得到∴|x-2|和|y-x|的范圍，從而得到隨機(jī)變量ξ的最大值，求出最大值的概率．
（2）ξ的所有取值為0，1，2，3．ξ=0時(shí)，只有x=2，y=2這一種情況，ξ=2時(shí)，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況，ξ=3時(shí)，有x=3，y=1或x=1，y=3兩種情況，而變量取1時(shí)，用其他幾個(gè)變量的概率求得．

解答：解：（1）∵x、y可能的取值為1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2
∴ξ≤3，且當(dāng)x=3，y=1或x=1，y=3時(shí)，ξ=3
因此隨機(jī)變量ξ的最大值為3．
∵有放回地抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，
∴P(ξ=3)=

2

9

∴隨機(jī)變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為

2

9

．

（2）ξ的所有取值為0，1，2，3．
∵ξ=0時(shí)，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=2時(shí)，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況，
ξ=3時(shí)，有x=3，y=1或x=1，y=3兩種情況，
∴P(ξ=0)=

1

9

，P(ξ=2)=

2

9

，P(ξ=3)=

2

9

，P(ξ=1)=1-

1

9

-

2

9

-

2

9

=

4

9

則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．

點(diǎn)評：本題應(yīng)用分類討論思想對于題目中出現(xiàn)的變量進(jìn)行討論，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．