Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a＞0），數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差數列，且b₃=12，求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比數列，求數列{b_n}的前n項和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比為a-1的等比數列時，{a_n}能否為等比數列？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在b_n表達式中取n=3，結合等差數列的通項公式解出公差d，從而得出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由等比數列的通項公式求出數列{a_n}的通項公式，再代入b_n=a_na_n+1 ，得出數列{b_n}的通項公式，最后用等比數列求和公式算出結果；
（Ⅲ）先假設命題正確，再利用數列{a_n}的前3項得出矛盾，從而說明，數列{a_n}不能為等比數列．
解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差數列a₁=1，a₂=a，b_n=a_na_n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=
又因a=a₁+d=1+d＞0得d＞-1
∴d=1
∴a_n=n（4分）
（Ⅱ）{a_n}是等比數列，首項a₁=1，a₂=a，故公比，
所以a_n=a^n-1，代入{b_n}的表達式得
b_n=a_na_n+1=a^2n-1，可得
∴數列{b_n}是以a為首項，公比為 a²的等比數列

故S_n=（5分）
（Ⅲ）{a_n}不能為等比數列，理由如下：
∵b_n=a_na_n+1，{b_n}是公比為a-1的等比數列
∴
∴a₃=a-1
假設{a_n}為等比數列，由a₁=1，a₂=a得a₃=a²，所以a²=a-1
因此此方程無解，所以數列一定不能等比數列．（14分）
點評：抓住等差數列的首項和公差，等比數列的首項和公比是解決這類問題的關鍵，求等比數列的前n項和注意公比能不能等于1的分類討論．