Question

如圖所示，PQ為平面α、β的交線，已知二面角α-PQ-β為直二面角，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB=kAB（k∈R*），∠BAP=45°．
（1）證明：BC⊥PQ；
（2）設(shè)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O，當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面ABC內(nèi)的射影G恰好為△ABC的重心？
（3）當(dāng)k=

6

3

時(shí)，求二面角B-AC-P的大�。�

Answer 1

分析：（1）在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PQ于點(diǎn)E，由題知點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，連接EB．看出點(diǎn)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)E，根據(jù)線與線垂直得到線與面垂直，得到結(jié)論．
（2）由（1）知，O點(diǎn)即為E點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F是O在平面ABC內(nèi)的射影，連  接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，由題意可知，若F是△ABC的重心，則點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，根據(jù)三垂線定理得到線與線垂直，得到結(jié)論．
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)出線段的長(zhǎng)度，表示出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，做出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量之間的角度來(lái)求面與面的夾角．

解答：解：（1）在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PQ于點(diǎn)E，由題知點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，連接EB．
∵α⊥β，α∩β=PQ，∴CE⊥α，即點(diǎn)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)E，
又∵CA=CB，∴EA=EB．∵∠BAE=45°，∴∠ABE=45°，∠AEB=90°，故BE⊥PQ，又∵CE⊥PQ，∴PQ⊥平面EBC，∵BC?平面EBC，故BC⊥PQ．
（2）由（1）知，O點(diǎn)即為E點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F是O在平面ABC內(nèi)的射影，連  接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，由題意可知，若F是△ABC的重心，則點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．
∵BO⊥PQ，平面角α-PQ-β為直二面角，
∴BO⊥β，∴OB⊥AC，由三垂線定理可知AC⊥BF，即AC⊥BD，∴AB=BC=AC，即k=1；反之，當(dāng)k=1時(shí)，三棱錐O-ABC為正三棱錐，此時(shí)，點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影恰好為△ABC的重心．
（3）由（2）知，可以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖所示）
不妨設(shè)AB=

6

，在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，由CA=CB=kAB且k=

6

3

得，AC=2，∴OC=1，則O(0，0，0)，B(

3

，0，0)，A(0，

3

，0)，C(0，0，1)．
所以

AB

=(

3

，-

3

，0)，

AC

=(0，-

3

，1)
設(shè)n₁（x，y，z）是平面ABC的一個(gè)法向量，由

n1• AB =0 n1• AC =0

得

3 x- 3 y=0 - 3 y+z=0

取x=1，得n1=(1，1，

3

)
易知n₂=（1，0，0）是平面β的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角B-AC-P的平面角為θ，所以cosθ=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

1

5 ×1

=

5

5

，由圖可知，
二面角B-AC-P的大小為arccos

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題看出線面之間的關(guān)系和用向量來(lái)求兩個(gè)平面的夾角的問(wèn)題，把向量利用到立體幾何中，降低了題目的難度，本題是近幾年高考必考的題型