正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=（a+1）2，n∈N*．
（1）試求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
【答案】分析：（1）由題設知，a1=1，，所以4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），由此能求出an=2n-1．
（2）由=，利用裂項求和法能求出Tn的值．
解答：解：（1）∵4Sn=（a+1）2，n∈N*，∴…①
當n=1時，，∴a1=1．
當n≥2時，…②
①、②式相減得：
4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），
∴2（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∴an-an-1=2，
綜上得an=2n-1．（6分）
（2）
=，
∴Tn=
=．（12分）
點評：第（1）題考查數(shù)列的通項公式，解題時要注意迭代法的合理運用；第（2）題考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=n2．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn=
1
(an+1)(an+1+1)
，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn．
（3）是否存在自然數(shù)m，使得
m-2
4
＜Tn＜
m
5
對一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），
（1）求a2以及數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列．
（�。┣笞C：
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
＜
15
16
（n∈N*）；
（ⅱ）求證：在數(shù)列{dn}中不存在三項dm，ds，dt成等比數(shù)列．（其中m，s，t依次成等比數(shù)列）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和且Sn= 
1
2
an2+
1
2
an-1．
（1）求an；  
（2）若bn=2n求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}的前n項和sn=
an2+an
2
，bn=(1+
1
2an
)an(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且f'（x）存在，則當x1＞x2（x1，x2∈D）時，總有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜f′(x1)，請根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)y=xn+1（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函數(shù)，判斷bn與bn+1的大��；
（Ⅲ）求證：
3
2
≤bn＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an2}的前n項和為Tn，且Tn=
4-(Sn-p)23
，其中p為常數(shù)．
（1）求p的值；
（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1，且y=2”．

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