Question

（2011•萬州區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），給出下列命題：
（1）f（x）不可能是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)，f（x）的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（3）若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（4）f（x）有最小值b-a²．
其中正確的命題的序號(hào)是

（3）

．

Answer 1

分析：由分別討論參數(shù)a，b的取值情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．（1）利用奇偶性的定義可以判斷，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）偶函數(shù)．（2）由f（0）=f（2）得到a，b的關(guān)系，然后根據(jù)a，b的關(guān)系通過配方得到對(duì)稱軸．（3）當(dāng)a²-b≤0時(shí)，此時(shí)x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²≥0，此時(shí)可以去掉絕對(duì)值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷．（4）由（3）可以知道當(dāng)a²-b≤0時(shí)，二次函數(shù)開口向上有最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）必非奇非偶函數(shù)，所以（1）錯(cuò)誤．
（2）若f（0）=f（2），則|b|=|4-4a+b|，所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b，即a=1或b=2a-2．當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸為x=1．
  當(dāng)b=2a-2時(shí)，f（x）=|x²-2ax+2a-2|=|（x-a）²-2-a²|，此時(shí)對(duì)稱軸為x=a，所以（2）錯(cuò)誤．
（3）若a²-b≤0，則f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²，所以此時(shí)函數(shù)區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，所以（3）正確．
（4）由（3）知，當(dāng)a²-b≤0，函數(shù)f（x）有最小值|a²-b|=a²-b，所以（4）錯(cuò)誤．
故答案為（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的綜合應(yīng)用．