Question

10．設(shè)a＜b，把函數(shù)y=h（x）的圖象與直線x=a和x=b、y=0所圍成的面積與b-a的比值稱為函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（a，b）上的“面積密度”．
（1）設(shè)f（x）=x1n x-x，曲線y=f（x）與直線y=x+b相切，求b的值；
（2）設(shè)0＜a≤b，求μ的值（用a，b表示）使得函數(shù)g（x）=|1n x-ln μ|在區(qū)間（a，b）上的“面積密度”取得最小值；
（3）記（2）中的最小值為φ（a，b）求證φ（a，b）＜ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得切線的斜率，解方程可得b；
（2）運(yùn)用定積分可得S（c）=${∫}_{a}^{{e}^{c}}$|lnx-c|dx+${∫}_{{e}^{c}}^$|lnx-c|dx，由計(jì)算法則可得S（c）的解析式，再求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得最小值m及對(duì)應(yīng)的μ的值；
（3）最小值為φ（a，b）=$\frac{m}{b-a}$＜ln2?alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$＜（b-a）ln2，令F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln$\frac{a+x}{2}$-（x-a）ln2（x≥a），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
f（x）=x1nx-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx-1=lnx，
可得切線的斜率為lnm=1，解得m=e，
則切點(diǎn)為（e，0），即有b=n-m=-e；
（2）設(shè)圖象與直線x=a和x=b、y=0所圍成的面積為S（c）（設(shè)c=lnμ），
即有S（c）=${∫}_{a}^{{e}^{c}}$|lnx-c|dx+${∫}_{{e}^{c}}^$|lnx-c|dx
=${∫}_{a}^{{e}^{c}}$（c-lnx）dx+${∫}_{{e}^{c}}^$（lnx-c）dx
=2e^c-c（a+b）-（a+b）+alna+blnb，
即有S′（c）=2e^c-（a+b），
由lna＜c＜lnb，當(dāng)c∈（lna，ln$\frac{a+b}{2}$），S′（c）＜0，S（c）遞減，
當(dāng)c∈（ln$\frac{a+b}{2}$，lnb），S′（c）＞0，S（c）遞增，
當(dāng)c=ln$\frac{a+b}{2}$，即μ=$\frac{a+b}{2}$時(shí)，S（c）取得最小值，且為m=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$．
（3）證明：最小值為φ（a，b）=$\frac{m}{b-a}$，
即有$\frac{m}{b-a}$＜ln2?alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$＜（b-a）ln2，
令F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln$\frac{a+x}{2}$-（x-a）ln2（x≥a），
則F′（x）=lnx-ln$\frac{a+x}{2}$-ln2，
由x≥a，則F′（x）≤0，即有F（x）在[a，+∞）遞減．
則F（b）＜F（a），即有alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$-（b-a）ln2＜0，
則有$\frac{m}{b-a}$＜ln2．
即為φ（a，b）＜ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查定積分的運(yùn)用和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性證明不等式的方法，屬于難題．