Question

函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，有則稱(chēng)f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
②f（x²）在[1，]上具有性質(zhì)P；
③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
④對(duì)任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命題的序號(hào)是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題設(shè)條件，分別舉出反例，說(shuō)明①和②都是錯(cuò)誤的；同時(shí)證明③和④是正確的．
解答：解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上滿(mǎn)足性質(zhì)P，
但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上滿(mǎn)足性質(zhì)P，但f（x²）=-x²在[1，]上不滿(mǎn)足性質(zhì)P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，
∴，
故f（x）=1，
∴對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，對(duì)任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有=
≤
≤
=[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故④成立．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)定義的理解，說(shuō)明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤時(shí)，只需舉出反例即可．說(shuō)明一個(gè)結(jié)論正確時(shí)，要證明對(duì)所有的情況都成立．