Question

8．在平面直角坐標系xOy中，圓O：x²+y²=1，P為直線l：x=$\frac{4}{3}$上一點．
（1）若點P在第一象限，且OP=$\frac{5}{3}$，求過點P圓O的切線方程；
（2）若存在過點P的直線交圓O于點A，B，且B恰為線段AP的中點，求點P縱坐標的取值范圍；
（3）設直線l動點Q，⊙Q與⊙O相外切，⊙Q交L于M、N兩點，對于任意直徑MN，平面上是否存在不在直線L上的定點A，使得∠MAN為定值？若存在，直接寫出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出設點P的坐標．易知過點P的圓O的切線的斜率必存在，可設切線的斜率為k，切線為y-1=k（x-$\frac{4}{3}$），即kx-y+1-$\frac{4}{3}$k=0，利用點到直線間的距離公式可解得k，從而可得過點P的圓O的切線方程．
（2）設A（x，y），則B（$\frac{x+\frac{4}{3}}{2}$，$\frac{y+{y}_{0}}{2}$），因為點A、B均在圓O上，所以有圓x²+y²=1與圓（x+$\frac{4}{3}$）²+（y+y₀）²=4有公共點，繼而可得點P縱坐標的取值范圍；
（3）存在，點A的坐標為（$\frac{3±\sqrt{7}}{4}$，0）．

解答 解：（1）設點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，y₀）．
因OP=$\frac{5}{3}$，所以（$\frac{4}{3}$）+y₀²=（$\frac{5}{3}$）²，解得y₀=±1．
又點P在第一象限，所以y₀=1，即P的坐標為（$\frac{4}{3}$，1）．
易知過點P的圓O的切線的斜率必存在，可設切線的斜率為k，
則切線為y-1=k（x-$\frac{4}{3}$），即kx-y+1-$\frac{4}{3}$k=0，于是有$\frac{|1-\frac{4}{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=0或k=$\frac{24}{7}$．
因此過點P的圓O的切線方程為：y=1或24x-7y-25=0．
（2）設A（x，y），則B（$\frac{x+\frac{4}{3}}{2}$，$\frac{y+{y}_{0}}{2}$），因為點A、B均在圓O上，所以有圓x²+y²=1與圓（x+$\frac{4}{3}$）²+（y+y₀）²=4有公共點．
于是1≤$\sqrt{\frac{16}{9}+{{y}_{0}}^{2}}$≤3，解得-$\frac{\sqrt{65}}{3}$≤y₀≤$\frac{\sqrt{65}}{3}$，即點P縱坐標的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{65}}{3}$，$\frac{\sqrt{65}}{3}$]．
（3）存在，點A的坐標為（$\frac{3±\sqrt{7}}{4}$，0）．（寫出存在兩字給2分）

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合應用，考查點到直線間的距離公式、直線的點斜式方程，突出考查方程思想與綜合運算能力，屬于難題．