Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的極大值.

（Ⅱ）求證：存在，使；

（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k,b,使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求出k,b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）由求函數(shù)遞增區(qū)間，求函數(shù)遞減區(qū)間，即可求極大值；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，證得函數(shù)在上存在極值點(diǎn)即可；3.先尋找函數(shù)的“分界線”函數(shù)，再分別證明和都成立.

試題分析：

試題解析：（Ⅰ）              （1分）

令解得

令解得.                    （2分）

∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.      （3分）

所以的極大值為                 （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

令

∴                   （5分）

取則

             （6分）

故存在使即存在使

                  （7分）

（說(shuō)明：的取法不唯一，只要滿足且即可）

（Ⅱ）設(shè)

則

則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn),

∴

∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn).   （9分）

設(shè)與存在“分界線”且方程為，

令函數(shù)

①由≥，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，

即，

∴，故               （11分）

②下面說(shuō)明：，

即恒成立.

設(shè)

則

∵當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值0，.

∴成立.               （13分）

綜合①②知且

故函數(shù)與存在“分界線”，

此時(shí)                   （14分）

考點(diǎn)：1.求函數(shù)的極值；2.判函數(shù)的單調(diào)性；3.構(gòu)造新函數(shù).