Question

用數學歸納法證明：1+2+2²+…2^n-1=2ⁿ-1（n∈N）的過程中，第二步假設當n=k時等式成立，則當n=k+1時應得到（ ）
A．1+2+2²+…+2^k-2+2^k+1-1
B．1+2+2²+…+2^k+2^k+1=2^k-1+2^k+1
C．1+2+2²+…+2^k-1+2^k+1=2^k+1-1
D．1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k

Answer 1

【答案】分析：只要將n=k+1代入式子：1+2+2²+…2^n-1=2ⁿ-1中即可，注意左邊中最后一項是2^k．
解答：解：∵將式子：1+2+2²+…2^n-1=2ⁿ-1中n用k+1替換得：
當n=k+1時，有1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k
故選D．
點評：數學歸納法的基本形式：
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n）成立（奠基）；2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立．