橢圓的兩焦點為F1，F(xiàn)2，以F1F2為一邊的正三角形的另兩條邊均被橢圓平分，則橢圓的離心率為
 
．
分析：正三角形的邊長為 2c，第三個頂點在y軸上，設(shè)出A的坐標(biāo)，求出 AF2 的中點坐標(biāo)，把AF2 的中點坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡解方程求得 e．
解答：解：由題意知，正三角形的邊長為 2c，第三個頂點在y軸上，設(shè)為A，則 A的坐標(biāo)可為 （0，
3
c），
再由中點公式得 AF2 的中點為（
c
2
，
3
c
2
），再由 AF2 的中點在橢圓上得
(
c
2
)2
a2
+
(
3
c
2
)2
a2-c2
=1，
化簡得 e4-8e2+4=0，∴e2=4+2
3
（舍去） 或 e2=4-2
3
，∴e=
3
-1，
故答案為：
3
-1．
點評：本題考查線段的中點公式，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意離心率的取值范圍．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的兩焦點為F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，離心率e=
3
2
．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值；
（3）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的兩焦點為F1(-
3
，0)， F2(
3
，0)，P為橢圓上一點，且|PF1|+|PF2|=4
（1）求此橢圓方程．
（2）若∠F1PF2=
π
3
，求△F1PF2的面積（要有詳細(xì)的解題過程）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的兩焦點為F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），離心率e=
3
2
．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的兩焦點為F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求此橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線y=
x
2
+m與橢圓交于P，Q兩點，且|PQ|的長等于橢圓的短軸長，求m的值．
（Ⅲ）若直線y=
x
2
+m與此橢圓交于M，N兩點，求線段MN的中點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的兩焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓上一點，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面積．

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