Question

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側(cè)棱AA₁上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)AA₁=AB=AC時，求證：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）試求三棱錐P-BCC₁的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為，試求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一：利用線面垂直的判定證明，即證AC₁⊥A₁C，AB⊥AC₁；
證法二：建立空間直角坐標(biāo)系，證明；
證法三：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC₁的法向量，利用，證明A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）先判斷P到平面BB₁C₁C的距離等于點(diǎn)A到平面BB₁C₁C的距離，利用等體積轉(zhuǎn)化，求出三棱錐P-BCC₁的體積，利用導(dǎo)數(shù)的方法，求最大值；
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC₁的法向量，平面BCC₁的法向量，利用向量的夾角公式及二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為，可求實(shí)數(shù)t的值．
解答：（Ⅰ）證法一：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AA₁=AC，∴四邊形AA₁C₁C是正方形，
∴AC₁⊥A₁C．…（1分）
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C．…（2分）
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，∴AB⊥AC₁．…（3分）
∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
證法二：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）

則A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴，
∴，…（2分）
∴．…（3分）
又∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
證法三：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）

則A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴．
設(shè)平面ABC₁的法向量，
則，解得．
令z=1，則，…（3分）
∵，∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AA₁∥平面BB₁C₁C，∴點(diǎn)P到平面BB₁C₁C的距離等于點(diǎn)A到平面BB₁C₁C的距離
∴，…（5分）
∴V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，
列表，得

	（0，1）	1
V'	+		-
V	遞增	極大值	遞減

∴當(dāng)t=1時，．…（8分）
（Ⅲ）解：分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），C₁（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A₁（0，0，3-2t），
∴，，．…（9分）

設(shè)平面ABC₁的法向量，
則，解得，
令z₁=t，則．…（10分）
設(shè)平面BCC₁的法向量，則．
由于，所以解得．
令y₂=1，則．…（11分）
設(shè)二面角A-BC₁-C的平面角為θ，則有．
化簡得5t²-16t+12=0，解得t=2（舍去）或．
所以當(dāng)時，二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為．…（13分）
點(diǎn)評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用意識．