Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx-2與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且，若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意，可設(shè)橢圓E的方程為
∵離心率為，∴，即a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴
解得c²=1
∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為．
（2）記A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
由消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞，
由韋達(dá)定理 x₁ +x₂=，x₁x₂=，
∵原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，∴∠MON為銳角
∵
∴∠AOB為銳角
∴
∵═x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=（k²+1）×-2k×+4=
∴
∴
∵k²＞，
∴
∴k的取值范圍為
分析：（1）依題意設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率的值以及橢圓經(jīng)過點(diǎn)，待定系數(shù)法求出橢圓的方程；
（2）把直線的方程代入橢圓的方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量條件，原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，可得∠MON為銳角，從而∠AOB為銳角，利用向量的數(shù)量積，即可求得k的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識，綜合性強(qiáng)．