在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．

 

（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】(1)證明：由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列．

(2)【解析】
由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝.

(3)證明：對(duì)任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＝－ (3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=AD，BE∥=FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．

(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形．

(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？

 

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，且在點(diǎn)Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝2knan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

 

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已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2a＋1(a是常數(shù)，且a≠－1)，

an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝a，

bn＝an＋n2(n≥2)．

(1)證明：{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；

(2)設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且{Sn}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列{an}的最小項(xiàng)．

 

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已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和為________．

 

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等比數(shù)列{an}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，則a3＋a5＝________．

 

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設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝________．

 

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若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．

(1)設(shè)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數(shù)列的前6項(xiàng)，并求出前6項(xiàng)之和；

(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；

(3)設(shè)a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項(xiàng)和S2011.

 

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設(shè)a＞0，f(x)＝是R上的偶函數(shù)．

(1)求a的值；

(2)判斷并證明函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的單調(diào)性；

(3)求函數(shù)的值域．

 

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