Question

某城市規(guī)劃部門計(jì)劃依托一矩形花園ABCD將之?dāng)U建成一個(gè)再大些的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)，已知AB=3米，AD=2米．現(xiàn)有一飛鳥(niǎo)在矩形花園AMPN上空自由飛翔，并確定在花園AMPN內(nèi)休息．
（1）要使飛鳥(niǎo)恰巧停在矩形花園ABCD內(nèi)的概率不大于

3

16

，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出AN的長(zhǎng)為x米，因?yàn)槿�角形DNC∽三角形ANM，則對(duì)應(yīng)線段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面積，然后根據(jù)飛鳥(niǎo)恰巧停在矩形花園ABCD內(nèi)的概率不大于

3

16

，建立不等式，解之即可；
（2）利用a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求出S的最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)AN=x米，（x＞2），則ND=x-2
∵

ND

DC

=

AN

AM

∴

x-2

3

=

x

AM

∴AM=

3x

x-2

                                         …2 分
故飛鳥(niǎo)停在小花園中的概率為P，P=

SABCD

SAMPN

=

6

3x x-2 •x

=

2(x-2)

x2

  …4 分
由題意：

2(x-2)

x2

≤

3

16

                                   …5 分
∴3x²-32x+64≥0                                            …（7分）
即（3x-8）（x-8）≥0
∴2＜x≤

8

3

或x≥8                                              …（8分）
（2）S_AMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

                   …（12分）
=3（x-2）+

12

x-2

+12   …（14分）
≥2

36

+12=24                                      …（15分）
此時(shí)x=4     當(dāng)AN的長(zhǎng)度是4米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小面積為24米²．      …（16分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．以及用a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求最值的能力．