已知曲線C的方程為x2+ay2=1（a∈R）．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）若a≠-1時(shí)，直線y=x-1與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，且|MN|=
2
，求曲線C的方程．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，曲線C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；…（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，曲線C的軌跡是兩條平行的直線x=1和x=-1；…（1分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，曲線C的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；  …（1分）
當(dāng)a=1時(shí)，曲線C的軌跡是圓 x2+y2=1；          …（1分）
當(dāng)a＞1時(shí)，曲線C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．      …（1分）
（2）由
y=x-1
x2+ay2=1
，得（a+1）x2-2ax+a-1=0…①…（2分）
因?yàn)閍≠-1，所以方程①為一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直線l與曲線C必有兩個(gè)交點(diǎn)．       …（1分）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1，x2為方程①的兩根，所以x1+x2=
2a
a+1
，x1x2=
a-1
a+1
，…（1分）
所以|MN|=
2
|x1-x2|=
2
×
(
2a
a+1
)2-4×
a-1
a+1
=
2
，…（2分）
所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3．   …（2分）
因此曲線C的方程為x2+y2=1或x2-3y2=1．   …（1分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C的方程為
x=8t2
y=8t
(t為參數(shù)），過點(diǎn)F（2，0）作一條傾斜角為
π
4
的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，則AB的長度為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=sinθ
，θ∈[0，2π)，極點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．圓T的極坐標(biāo)方程為ρ2+4ρcosθ+4=r2，曲線C與圓T交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程與圓T直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)一模）已知曲線C的方程為x2+ay2=1（a∈R）．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）若a≠-1時(shí)，直線y=x-1與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，且|MN|=
2
，求曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C的方程為kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．
（1）若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；
（2）若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60°，求此雙曲線的方程；
（3）滿足（2）的雙曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l：y=x-1對稱，若存在，求出過P、Q的直線方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：海門市模擬 題型：填空題

已知曲線C的方程為
x=8t2
y=8t
(t為參數(shù)），過點(diǎn)F（2，0）作一條傾斜角為
π
4
的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，則AB的長度為______．

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