Question

（2009江蘇卷）（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【解析】 本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力。滿分16分。

(1)設(shè)直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得：

化簡(jiǎn)得：

求直線的方程為：或，即或

(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：

，即：

因?yàn)橹本�被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。

故有：，

化簡(jiǎn)得：

關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有：

解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。