Question

已知向量，函數(shù)，．
（1）求f（x）的最小值和單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求sin2α的值．

Answer 1

解：=sin²x+sinxcosx=+sin2x=（sin2x-cos2x）+=sin（2x-）+
（1）∵，∴2x-∈[-，]
∴當(dāng)2x-=-，即x=0時(shí)，f（x）最小為-×+=0
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ，
由+2kπ≤2x-≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，
取k=0，結(jié)合
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，]，單調(diào)減區(qū)間為[，]
（2）∵，∴sin（2x-）+=
∴sin（2x-）=
∵，∴2x-∈[-，]
∵0＜sin（2x-）＜
∴2x-∈（0，）
∴cos（2x-）=
∴sin2x=sin（2x-+）=sin（2x-）+cos（2x-）=（+）=
分析：先利用向量數(shù)量積運(yùn)算，求得函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的正弦公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，（1）利用正弦函數(shù)的有界性求得函數(shù)f（x）的最小值，將內(nèi)層函數(shù)置于外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上，解不等式即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，同理可得其單調(diào)減區(qū)間；（2）利用配湊角的方法，將角2α看做2α-+，再利用兩角和的正弦公式即可求得所求函數(shù)值，但角2α-的取值范圍的確定是一個(gè)難點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角變換公式在三角化簡(jiǎn)和求值中的運(yùn)用，y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)值確定角的范圍，并利用變換角的方法求函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵