Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D₁、D分別是棱B₁C₁、BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：AB₁∥平面CA₁D₁；
（Ⅲ）求多面體A₁B₁D₁-CAD的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，從而得到側面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁C₁，由此能夠證明A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由D₁、D分別是棱B₁C₁、BC的中點，知B₁D∥CD₁，CD₁∥平面AB₁D．由此能夠證明AB₁∥平面CA₁D₁．
（Ⅲ）先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₁，三棱錐C-A₁C₁D₁與三棱錐B₁-ABD的體積均為V₂，由多面體A₁B₁D₁-CAD的體積V=V₁-2V₂，能求出結果．

解答：（I）證明：由已知得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴側面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁C₁，
又A₁B₁=A₁C₁，∴A₁D₁⊥B₁C₁．
∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵D₁、D分別是棱B₁C₁、BC的中點，
∴B₁D∥CD₁，∴CD₁∥平面AB₁D．
又ADD₁A₁為矩形，∴A₁D₁∥AD，∴A₁D₁∥平面AB₁D．
∵AD∩DB₁=D，∴平面CA₁D₁∥平面ADB₁．
又AB₁?平面AB₁D，∴AB₁∥平面CA₁D₁．…（8分）
（Ⅲ）解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，
點D₁、D分別是棱B₁C₁、BC的中點．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₁=

1

2

×2×2×2=4，
三棱錐C-A₁C₁D₁與三棱錐B₁-ABD的體積均為V₂=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2=

2

3

，
∴多面體A₁B₁D₁-CAD的體積V=V₁-2V₂=4-2×

2

3

=

8

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查多面體的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．