Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證AB⊥A₁C，而A₁C?平面ACC₁A₁，可先證AB⊥平面ACC₁A₁，根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，可知AB⊥AA₁，由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）作AD⊥A₁C交A₁C于D點(diǎn)，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A₁C，則∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A-A₁C-B的余弦值即可．

解答：解：（1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AB⊥AA₁，在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C?平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁C．
（2）如圖，作AD⊥A₁C交A₁C于D點(diǎn)，連接BD，
由三垂線定理知BD⊥A₁C，
∴∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角．
在Rt△AA₁C中，AD=

AA1•AC

A1C

=

3 × 3

6

=

6

2

，
在Rt△BAD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

6

3

，
∴cos∠ADB=

15

5

，
即二面角A-A₁C-B的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．