設(shè)A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；
【答案】分析：（1）要證明三角形是正三角形，從三角形的邊長入手，根據(jù)三角形的模長都是1，得到三個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在單位圓上，根據(jù)三個復(fù)數(shù)的和是0，得到其中一個復(fù)數(shù)可以用其他兩個來表示，利用復(fù)數(shù)的運算律，得到任意兩個復(fù)數(shù)的差的模長是相等的．
（2）根據(jù)三角形是一個正三角形，且邊長已知，利用正弦定理表示出三角形的面積，計算得到結(jié)果．
解答：解：（1）∵|z1|=|z2|=|z3|=1
∴A，B，C三點都在單位圓上
∵A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0
∴z1=-（z2+z3）
∴1==（z2+z3）（）=+=-1，
∴|z2-z3|2=（z2-z3）（）=3，
∴|z2-z3|=，
同理可得|z1-z2|=|z1-z3|=，
∴△ABC是內(nèi)接與單位圓的正三角形，
（2）S△ABC=|AB|•|AC|sinA
=
點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的模長，考查三角形的面積，是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是怎么證明三角形是正三角形，可以從邊長入手，也可以從角度入手．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=
12
+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是實數(shù)）對應(yīng)的不共線的三點．
證明：曲線：Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t  （t∈R）與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A，B，C為單位圓O上不同的三點，則點集A={(x，y)|
OC
=x
OA
+y
OB
，0＜x＜2，0＜y＜2}所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為（　�。�
A、1
B、
3
2
C、2
D、
5
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；

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