Question

已知函數(shù)fn(x)=(1+

1

n

)x（n∈N^*）．
（Ⅰ）比較f_n^′（0）與

1

n

的大小；
（Ⅱ）求證：

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

+…+

fn′(n)

n+1

＜3．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ln（1+x）-x，研究函數(shù)φ（x）的單調(diào)性可判定f_n^′（0）與

1

n

的大小
（2）利用第一問(wèn)的結(jié)論對(duì)

fn′(n)

n+1

進(jìn)行放縮，結(jié)合不等式的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的運(yùn)用，聯(lián)合求解即可證明原不等式．

解答：解：（Ⅰ）fn′(x)=(1+

1

n

)xln(1+

1

n

)
則fn′(0)=ln(1+

1

n

)，設(shè)函數(shù)φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]
則φ′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，則φ（x）單調(diào)遞減，
所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x
則ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即fn′(0)＜

1

n

；
（Ⅱ）

fn′(n)

n+1

=

(1+ 1 n )nln(1+ 1 n )

n+1

＜

(1+ 1 n )n

n(n+1)

．
因?yàn)?span id="5vygeig" class="MathJye">(1+

1

n

)n＜1+1+

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)n

=3-

1

n

＜3
則

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

++

fn′(n)

n+1

＜3(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)n

)=3(1-

1

n

)＜3
則原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的證明，在高考中也常考，屬于難題．