Question

下面有五個(gè)命題：
（1）函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
（2）終邊在y軸上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z}；  
（3）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和y=x的圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
（4）把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x的圖象；
（5）函數(shù)y=sin（

π

2

-x）在（0，π）上是增函數(shù)．
其中，真命題的編號(hào)是

（1）（3）

．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x，=-cos2x，由此知函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；終邊在y軸上的角的集合是{a|a=kπ+

π

2

，k∈Z}；坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和y=x的圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)； 把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；函數(shù)y=sin（

π

2

-x）=cosx在（0，π）上是減函數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x
=sin²x-cos²x
=-cos2x，
∴函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π，即（1）成立；
∵終邊在y軸上的角的集合是{a|a=kπ+

π

2

，k∈Z}，即（2）不成立；
在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和y=x的圖象原點(diǎn)這一個(gè)公共點(diǎn)，
∵sinx=x只有一個(gè)解，
x＞0時(shí)，
sinx＜x；
x＜0時(shí)，
sinx＞x；
x=0時(shí)，
sinx=x．
故（3）成立； 
把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin2x的圖象，故（4）不成立；
函數(shù)y=sin（

π

2

-x）=cosx在（0，π）上是減函數(shù)，故（5）不成立．
故答案為：（1），（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的恒等變換．