Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*．
（1）猜想數(shù)列{x_2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：|x_n+1-x_n|≤

1

6

（

2

5

）^n-1．
（文）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（理）（1）由x₁=

1

2

及x_n+1=

1

1+xn

，得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

．由x₂＞x₄＞x₆猜想，數(shù)列{x_2n}是遞減數(shù)列．可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=

1

6

，結(jié)論成立；當(dāng)n≥2時(shí)，0＜x_n-1＜1，故1+x_n-1＜2，x_n=

1

1+xn-1

＞

1

2

，由此能夠證明|x_n+1-x_n|≤

1

6

（

2

5

）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+1-a_n=

an-1+an

2

-a_n=-

1

2

（a_n-a_n-1）=-

1

2

b_n-1，故{b_n}是以1為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由b_n=a_n+1-a_n=（-

1

2

）^n-1，知當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+（-

1

2

）+…+（-

1

2

）^n-2=1+

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

=1+

2

3

[1-（-

1

2

）^n-1]=

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^n-1，由此能夠求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（理）（1）由x₁=

1

2

及x_n+1=

1

1+xn

得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

．
由x₂＞x₄＞x₆猜想，數(shù)列{x_2n}是遞減數(shù)列．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即x_2k＞x_2k+2，
易知x_n＞0，那么x_2k+2-x_2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．結(jié)合①和②知，命題成立．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=

1

6

，結(jié)論成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，易知0＜x_n-1＜1，
∴1+x_n-1＜2，x_n=

1

1+xn-1

＞

1

2

，
∴（1+x_n）（1+x_n-1）
=（1+

1

1+xn-1

）（1+x_n-1）
=2+x_n-1≥

5

2

，
∴|x_n+1-x_n|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|
=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

≤

2

5

|x_n-x_n-1|
≤（

2

5

）²|x_n-1-x_n-2|
≤…≤（

2

5

）^n-1|x₂-x₁|=

1

6

（

2

5

）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+1-a_n=

an-1+an

2

-a_n=-

1

2

（a_n-a_n-1）=-

1

2

b_n-1，
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知b_n=a_n+1-a_n=（-

1

2

）^n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+（-

1

2

）+…+（-

1

2

）^n-2
=1+

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

=1+

2

3

[1-（-

1

2

）^n-1]=

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^1-1=1=a₁．
∴a_n=

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^n-1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．