Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，?n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（1）求{S_n}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：對(duì)?n∈N^*，

n

i=1

i

ai

＜4．

Answer 1

分析：（1）由題意可知S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1），得到{S_n+1}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，求出S_n+1的通項(xiàng)公式即可得到S_n=2ⁿ-1；
（2）利用做差法得到a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，a₁=1=2^1-1，所以?n∈N^*，a_n=2^n-1，分別表示出各項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法得到小于4即可．

解答：（1）依題意，?n∈N^*，S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1），S₁+1=a₁+1=2≠0
所以{S_n+1}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，所以S_n+1=2ⁿ，S_n=2ⁿ-1
（2）對(duì)?n∈N^*，a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，a₁=1=2^1-1，所以?n∈N^*，a_n=2^n-1

n

i=1

i

ai

=

1

20

+

2

21

+

3

22

++

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
所以

1

2

n

i=1

i

ai

=

1

21

+

2

22

+

3

23

++

n-1

2n-1

+

n

2n

，兩式相減，
整理得

n

i=1

i

ai

=2+2×(

1

21

+

1

22

++

1

2n-1

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

＜4

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的和，會(huì)用前n+1項(xiàng)的和減前n項(xiàng)的和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．