Question

已知曲線y=x lnx（x＞）在點(diǎn)（t，t lnt）處的切線l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S．
（Ⅰ）試寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求面積S的最小值；
（Ⅲ）若S≥對(duì)于t＞恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)曲線在點(diǎn)（t，tlnt）處的切線斜率為y'=1+lnt再設(shè)A（m，0），B（0，n），得出關(guān)于t，m，n的方程得，從而寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）記，先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值，從而得出面積S的最小值為；
（3）由，得對(duì)恒成立．記，求出其導(dǎo)數(shù)，利用職權(quán)導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）曲線在點(diǎn)（t，tlnt）處的切線斜率為y'=1+lnt，（1分）
設(shè)A（m，0），B（0，n），
則（2分）
解得
所以，注意到時(shí)，1+lnt＞0，
故為所求．（4分）
（2）記，則，
∵，∴時(shí)，S'＜0；時(shí)，S'＞0，
即函數(shù)S=g（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（6分），
所以面積S的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．（8分）
（3）由，及1+lnt＞0得，對(duì)恒成立．
記，則，
當(dāng)，即a＜0或a≥e時(shí)，u'（t）＞0恒成立，
此時(shí)u（t）在上單調(diào)遞增，∴（10分）
解得a＜0或a≥2e²+2e，
當(dāng)，即0＜a＜e時(shí)，，
所以函數(shù)u（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，∴解得a∈ϕ，
綜上，a＜0或a≥2e²+2e為所求．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．