Question

已知函數(shù)．（a為常數(shù)，a＞0）
（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在 ，使不等式f（x₀）＞m（1﹣a²）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：由題得：．
（Ⅰ）由已知，得且，
∴a²﹣a﹣2=0，
∵a＞0，∴a=2．
（Ⅱ）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，．
又，∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函數(shù)．
（Ⅲ）a∈（1，2）時(shí)，由（Ⅱ）知，
f（x）在上的最大值為，
于是問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
記，（1＜a＜2）
則，
當(dāng)m=0時(shí)，，
∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時(shí)，g（a）＜g（1）=0，由于a²﹣1＞0，
∴m≤0時(shí)不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，
∴．
若，可知g（a）在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有
g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故，
這時(shí)，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設(shè)要求，
∴，即，
，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．