Question

7．已知函數f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）最大值為2，周期為π．
（1）求實數A，ω的值；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的圖象和性質，可得實數A，ω的值．可得f（x）的解析式．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函數f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）最大值為2，周期為π．
∵sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的最大值為1，
∴A=2．
周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，可得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2．
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，f（x）取得最小值為$-\sqrt{3}$
故得當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的值域為[$-\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，求出解析式是關鍵，屬于基礎題．