Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）最大值為2，周期為π．
（1）求實數(shù)A，ω的值；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實數(shù)A，ω的值．可得f（x）的解析式．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）最大值為2，周期為π．
∵sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的最大值為1，
∴A=2．
周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，可得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2．
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，f（x）取得最小值為$-\sqrt{3}$
故得當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域為[$-\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，求出解析式是關鍵，屬于基礎題．