Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x＜2 1 2 f(x-2)，x≥2

，則函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)的個數(shù)為

6

．

Answer 1

分析：由F（x）=xf（x）-1=0，得f（x）=

1

x

，設(shè)y=f（x）與y=

1

x

，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)圖象，由圖象即可求出兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)，即函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)個數(shù)．

解答：解：∵F（x）=xf（x）-1，
∴由F（x）=xf（x）-1=0，
得f（x）=

1

x

，
設(shè)y=f（x）與y=

1

x

，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)圖象，由圖象即可求出兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)，即函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)個數(shù)．
作出函數(shù)y=f（x）與y=g（x）=

1

x

的圖象如圖：
當(dāng)x＜0時，y=f（x）單調(diào)遞增，y=

1

x

為減函數(shù)，此時函數(shù)f（x）與y=g（x）=

1

x

只有一個交點(diǎn)．
∵f（1）=1，g（1）=1，∴f（1）=g（1），此時x=1是函數(shù)的一個零點(diǎn)．
∵f（3）=

1

2

f(1)=

1

2

，g（3）=

1

3

，滿足f（3）＞g（3），∴此時在（2，4）內(nèi)有兩個交點(diǎn)．
∵f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

，g（5）=

1

5

，滿足f（5）＞g（5），∴此時在（4，6）內(nèi)有兩個交點(diǎn)，
∵f（7）=

1

2

f（5）=

1

8

，g（7）=

1

7

，滿足f（7）＜g（7），∴此時在（6，8）內(nèi)沒有交點(diǎn)，
∵f（9）=

1

2

f(7)=

1

16

，g（9）=

1

9

，滿足f（9）＜g（9），∴此時在（8，10）內(nèi)有沒有交點(diǎn)，
即當(dāng)n＞7時，恒有f（x）＜g（x），此時，兩個函數(shù)沒有交點(diǎn)．
綜上兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)為6個．
即函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)的個數(shù)為6個．
故答案為：6．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，將求函數(shù)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題是解答本題的關(guān)鍵．