Question

在如圖所示的幾何體中，平面，∥， 是的中點(diǎn)，，．

（1）證明：∥平面；

（2）求二面角的大小的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內(nèi)的一條直線平行，取中點(diǎn)，連接，則，且，由已知得，且，故，則四邊形是平行四邊形，可證明，進(jìn)而證明∥平面，或可通過建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明直線的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夾角的余弦值，再觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，來決定二面角的大小的余弦值的正負(fù)，從而求解．

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719312825879478/SYS201411171931424155540519_DA/SYS201411171931424155540519_DA.018.png">，∥，所以平面．

故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，

， ．

所以，

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719312825879478/SYS201411171931424155540519_DA/SYS201411171931424155540519_DA.022.png">的一個(gè)法向量為，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719312825879478/SYS201411171931424155540519_DA/SYS201411171931424155540519_DA.033.png">平面，所以平面． 6分

（2）由（1）知，，，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得

，取，得，則

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

，取，則，則

設(shè)二面角的大小為，則，故二面角的大小的余弦值為．

考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判斷；2、二面角的求法.