(2013•資陽(yáng)二模)如圖,A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn),給出下列以O(shè)為起點(diǎn)的向量:①
OA
+2
OB
;②
1
2
OA
+
1
3
OB
; ③
3
4
OA
+
1
3
OB
;④
3
4
OA
+
1
5
OB
;⑤
3
4
OA
+
BA
+
2
3
OB
.其中終點(diǎn)落地陰影區(qū)域內(nèi)的向量的序號(hào)是
①③
①③
(寫出滿足條件的所有向量的序號(hào)).
分析:利用向量共線的充要條件可得:當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí),存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)u,v,使得
OP
=u
OA
+v
OB
成立,且u+v=1.可以證明當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是:滿足
OP
=u
OA
+v
OB
,且u>0,v>0,u+v>1.據(jù)此即可判斷出答案.
解答:解:由向量共線的充要條件可得:當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí),存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)u,v,使得
OP
=u
OA
+v
OB
成立,且u+v=1.
可以證明當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是:滿足
OP
=u
OA
+v
OB
,且u>0,v>0,u+v>1.
證明如下:如圖所示,點(diǎn)P是陰影區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE∥ON,PF∥OM,分別交OM,ON于點(diǎn)E,F(xiàn);
PE交AB于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PF∥OM交ON于點(diǎn)F,
則存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y),(u,v),使得
OP
=x
OE
+y
OF
=u
OA
+v
OB
,且u+v=1,u,v唯一;
同理存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得
OP
=x
OE
+y
OF
=x
OE
+y
OF
=u
OA
+v
OB
,
而x=x,y>y,
∴u=u,v>v
∴u+v>u+v=1.
即可判斷出①∵1+2>1,∴點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi),故正確;同理③正確;
而②④不正確;
⑤原式=
3
4
OA
+(
OA
-
OB
)+
2
3
OB
=
7
4
OA
-
1
3
OB
,而-
1
3
<0
,故不符合條件.
綜上可知:只有①③正確.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握向量共線的充要條件:當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí),存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)u,v,使得
OP
=u
OA
+v
OB
成立,且u+v=1;及當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是:滿足
OP
=u
OA
+v
OB
,且u>0,v>0,u+v>1.據(jù)此即可判斷出答案.是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•資陽(yáng)二模)某部門對(duì)當(dāng)?shù)爻青l(xiāng)居民進(jìn)行了主題為“你幸福嗎?”的幸福指數(shù)問卷調(diào)査,根據(jù)每份調(diào)查表得到每個(gè)調(diào)查對(duì)象的幸福指數(shù)評(píng)分值(百分制).現(xiàn)從收到的調(diào)查表中隨機(jī)抽取20份進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到右圖所示的頻率分布表:
幸福指數(shù)評(píng)分值 頻數(shù) 頻率
[50,60] 1
(60,70] 6
(70,80]
(80,90] 3
(90,100] 2
(Ⅰ)請(qǐng)完成題目中的頻率分布表,并補(bǔ)全題目中的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)該部門將邀請(qǐng)被問卷調(diào)查的部分居民參加“幸福愿景”的座談會(huì).在題中抽樣統(tǒng)計(jì)的這20人中,已知幸福指數(shù)評(píng)分值在區(qū)間(80,100]的5人中有2人被邀請(qǐng)參加座談,求其中幸福指數(shù)評(píng)分值在區(qū)間(80,90]的僅有1人被邀請(qǐng)的概率.

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AB

(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1:15,若存在,指出點(diǎn)G的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

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17
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•資陽(yáng)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)(1,1)與(
6
2
,
3
2
)兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|.求證:
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•資陽(yáng)二模)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,5},則(?UA)∪B=(  )

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