Question

14．已知函數f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）＜0對x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷函數的單調性，利用求導，判斷導函數與0的關系，問題得解決；
（Ⅱ）求f（x）＜0恒成立，求參數a的取值范圍，設h（x）=lnx-$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$，求導，利用分類討論的思想，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，
x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數．
∴f（x）有極小值f（1）=0，無極大值；
（Ⅱ）f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1＜0，在（1，+∞）恒成立．
①若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）為增函數．
∴f（x）＞f（1）=0，
即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．
②∵x＞1，lnx-$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$＜0，在（1，+∞）恒成立，
不妨設h（x）=lnx-$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$，x∈（1，+∞）
h′（x）=-$\frac{（x-1）（ax+a-1）}{{x}^{2}}$，x∈（1，+∞）
h′（x）=0，x=1或$\frac{1-a}{a}$，
若a＜0，則$\frac{1-a}{a}$＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）為增函數，h（x）＞h（1）=0（不合題意）；
若0＜a＜$\frac{1}{2}$，x∈（1，$\frac{1-a}{a}$），h′（x）＞0，h（x）為增函數，h（x）＞h（1）=0（不合題意）；
若a≥$\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）為減函數，h（x）＜h（1）=0（符合題意）．
綜上所述若x＞1時，f（x）＜0恒成立，則a≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性與導函數的關系，并如何利用分類討論的思想求函數在某區(qū)間上恒成立，參數的取值范圍．