精英家教網(wǎng)如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2
2
,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)求證:平面PCE⊥平面PCD;
(3)求四面體PEFC的體積.
分析:(1)設(shè)G為PC的中點(diǎn),連接FG,EG,根據(jù)中位線定理得到FG
.
.
1
2
CD,AE
.
.
1
2
CD,進(jìn)而可得到AF∥GE,再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE,得證.
(2)根據(jù)PA=AD=2可得到AF⊥PD,再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到PA⊥CD,然后由AD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD,同樣得到GE⊥平面PCD,再由面面垂直的判定定理可得證.
(3)先由(2)可得知EG為四面體PEFC的高,進(jìn)而求出S△PCF,根據(jù)棱錐的體積公式可得到答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)證明:設(shè)G為PC的中點(diǎn),連接FG,EG,
∵F為PD的中點(diǎn),E為AB的中點(diǎn),
∴FG
.
.
1
2
CD,AE
.
.
1
2
CD
∴FG
.
.
AE,∴AF∥GE
∵GE?平面PEC,
∴AF∥平面PCE;
 
(2)證明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
∵AF?平面PAD,∴AF⊥CD.
∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,
∴GE⊥平面PCD,
∵GE?平面PEC,
∴平面PCE⊥平面PCD;

(3)由(2)知,GE⊥平面PCD,
所以EG為四面體PEFC的高,
又GF∥CD,所以GF⊥PD,
EG=AF=
2
,GF=
1
2
CD=
2

S△PCF=
1
2
PD•GF=2.
得四面體PEFC的體積V=
1
3
S△PCF•EG=
2
2
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理.考查對(duì)立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運(yùn)用能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)若二面角P-CD-B為45°,求證:平面PCE⊥平面PCD.

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如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)若∠PAD=45°,求證:MN⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,PA垂直于矩形ABCD所在平面,PA=AD,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)求證:平面PCE⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2
2
,E,F(xiàn)分別是AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)求證:平面PCE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角F-EC-D的大。

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