Question

點(diǎn)A是函數(shù)f（x）=x³+4x+5的圖象在x=1處的切線上的點(diǎn)，則點(diǎn)A到圓2x²+2y²-8x-8y+15=0的最短距離為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

• D．

  3 2

  2

Answer 1

分析：求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，就是這點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，將圓心代入點(diǎn)到直線距離公式，求出圓心到直線的距離，減去半徑可得答案．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³+4x+5，所以f′（x）=3x²+4，
所以函數(shù)f（x）=x³+4x+5的圖象在x=1處的切線的斜率為：k=7，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，10）
所以切線方程為：y-10=7（x-1），即7x-y+3=0，
圓2x²+2y²-8x-8y+15=0的圓心（2，2）到直線的距離d=

|2×7-2+3|

72+1

=

3 2

2

大于圓的半徑

2

2

，
所以直線與圓相離，
則點(diǎn)A到圓2x²+2y²-8x-8y+15=0的最短距離為

3 2

2

-

2

2

=

2

故選C．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．