Question

在數(shù)列{a_n}中,若a₁、a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|,n=3,4,5,…,則稱{a_n}為“絕對(duì)差數(shù)列”.

(1)舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；

（2）若“絕對(duì)差數(shù)列”{a_n}中，a₂₀=3,a₂₁=0.數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2,n=1,2,3,…,分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

（3）求證:任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).

Answer 1

分析：本題以提出一個(gè)新概念的方式來考查數(shù)列的概念及極限的問題，背景新穎.

解：（1）a₁=3,a₂=1,a₃=2,a₄=1,a₅=1,a₆=0,a₇=1,a₈=1,a₉=0,a₁₀=1.

(答案不唯一)

（2）因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列{a_n}中，a₂₀=3,a₂₁=0,所以自第20項(xiàng)開始，該數(shù)列是a₂₀=3,a₂₁=0,a₂₂=3,a₂₃=3,a₂₄=0,a₂₅=3,a₂₆=3,a₂₇=0,…,即自第20項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3.

所以當(dāng)n→∞時(shí)，a_n的極值不存在.

當(dāng)n≥20時(shí)，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6.

所以b_n=6.

(3)證明：根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)，證明如下（用反證法）：

假設(shè){a_n}中沒有零項(xiàng)，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|,所以對(duì)于任意的n都有a_n≥1,從而

當(dāng)a_n-1＞a_n-2時(shí)，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1(n≥3);

當(dāng)a_n-1＜a_n-2時(shí)，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1(n≥3),

即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1.

令c_n=n=1,2,3,…,

則0＜c_n≤c_n-1-1(n=2,3,4,…).由于a_n是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項(xiàng)c_k＜0,這與c_n＞0(n=1,2,3,…)矛盾，從而{a_n}必有零項(xiàng).

若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記a_n-1=A(A≠0),則自第n項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0、A、A，即

所以絕對(duì)差數(shù)列{a_n}中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).

綠色通道:

在用反證法證題時(shí)，常用的主要矛盾為：與假設(shè)矛盾,與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾，與公認(rèn)的事實(shí)相矛盾.