Question

（2003•朝陽區(qū)一模）抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的．如正比例函數(shù)f（x）=kx（k≠0），f（x₁）=kx₁，f（x₂）=kx₂，f（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）=kx₁+kx₂=f（x₁）+f（x₂）可抽象為f（x+y）=f（x）+f（y）．寫出下列抽象函數(shù)是由什么特殊函數(shù)抽象而成的（填入一個(gè)函數(shù)即可）．

特殊函數(shù)	抽象函數(shù)
f（x）=xα	f（xy）=f（x）f（y）
f（x）=ax（a＞0且a≠1）	f（x+y）=f（x）f（y）
f（x）=logax（a＞0且a≠1）	f（xy）=f（x）+f（y）
f（x）=tanx	f（x+y）= f(x)+f(y) 1-f(x)f(y)

Answer 1

分析：根據(jù)表格中給出抽象函數(shù)的性質(zhì)，聯(lián)想到相應(yīng)的基本初等函數(shù)，再根據(jù)它們的定義依次加以驗(yàn)證，即可得到各個(gè)空格里應(yīng)該填上的函數(shù)類型，從而得到答案．

解答：解：∵冪函數(shù)f（x）=x^α，滿足f（xy）=（xy）^α=x^α•y^α=f（x）f（y）
∴表格第一行應(yīng)該填上f（x）=x^α，
∵指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1），滿足f（x+y）=a^x+y=a^x•a^y=f（x）f（y）
∴表格第二行應(yīng)該填上f（x）=a^x（a＞0且a≠1），
∵對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），滿足f（xy）=log_axy=log_ax+log_ay=f（x）+f（y）
∴表格第三行應(yīng)該填上f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
又∵正切函數(shù)f（x）=tanx，滿足f（x+y）=tan（x+y）=

tanx+tany

1-tanxtany

=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

∴表格最后一行應(yīng)該填上f（x）=tanx
故答案為：f（x）=x^α，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），f（x）=tanx

點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足條件的抽象函數(shù)，要我們找出符合條件的具體函數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)和抽象函數(shù)具體具體化的方法等知識(shí)，屬于中檔題．