Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為1，前n項和為S_n，且滿足a_n+1=3S_n，n∈N^*．數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當n≥2時，試比較b₁+b₂+…+b_n與

1

2

(n-1)2的大小，并說明理由；
（3）試判斷：當n∈N^*時，向量

a

=（a_n，b_n）是否可能恰為直線l：y=

1

2

x+1的方向向量？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1兩者作差整理得

an+2

an+1

=4，n∈N^*，要注意n=1時的情況，
（2）先由（1）求得b_n再求b₁+b₂+…+b_n，然后與

1

2

(n-1)2比較；
（3）由直線l的方向向量為

d

=(2，1)，若向量（a_n，b_n）為該直線的方向向量，則有2b_n=a_n研究．

解答：解：（1）由a_n+1=3S_n（1），得a_n+2=3S_n+1（2），由（2）-（1）得
a_n+2-a_n+1=3a_n+1，整理得

an+2

an+1

=4，n∈N^*．
所以，數(shù)列a₂，a₃，a₄，，a_n，是以4為公比的等比數(shù)列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以，an=

1 n=1 3•4n-2 n≥2，n∈N*

．
（2）由題意，bn=

0 n=1 log43+(n-2) n≥2，n∈N*

．
當n≥2時，
b₁+b₂+b₃++b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）++（log₄3+n-2）
=(n-1)log43+

1

2

(n-2)(n-1)
=

n-1

2

[2log43-1+(n-1)]
=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

所以，b1+b2+b3++bn＞

(n-1)2

2

．
（3）由題意，直線l的方向向量為

d

=(2，1)，假設(shè)向量（a_n，b_n）恰為該直線的方向向量，
則有2b_n=a_n，
當n=1時，a₁=1，b₁=0，向量

a

=(1，0)不符合條件；
當n≥2時，由2b_n=a_n?2[log₄3+（n-2）]=3•4^n-2?log₄9=3•4^n-2-2n+4，
而此時等式左邊的log₄9不是一個整數(shù)，而等式右邊的3•4^n-2-2n+4是一個整數(shù)，故等式不可能成立．
所以，對任意的n∈N^*，

a

=不可能是直線l的方向向量．

點評：本題主要考查通項與前n項和間的關(guān)系，由已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列問題，特別要注意n=1和n≥2的討論．