Question

14．（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． 32
• B． 90
• C． 140
• D． 141

Answer 1

分析 先將原式寫成：（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶=[1+（x+$\frac{1}{x}$）]⁶，再用二項(xiàng)式定理將該式展開，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的特征，得出常數(shù)項(xiàng)為：${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{6}^{4}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{6}^{6}$•${C}_{6}^{3}$，最后求出其值即可．

解答 解：（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶=[1+（x+$\frac{1}{x}$）]⁶
=${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{1}$（x+$\frac{1}{x}$）+${C}_{6}^{2}$（x+$\frac{1}{x}$）²+${C}_{6}^{3}$（x+$\frac{1}{x}$）³+…+${C}_{6}^{6}$（x+$\frac{1}{x}$）⁶，
上式共有7項(xiàng)，其中第一，三，五，七項(xiàng)存在常數(shù)項(xiàng)，
因此，這四項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)之和即為原式的常數(shù)項(xiàng)，
且各項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)如下：
${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{6}^{4}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{6}^{6}$•${C}_{6}^{3}$
=1+30+90+20=141，
即（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶的常數(shù)項(xiàng)為141，
故答案為：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，涉及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和常數(shù)項(xiàng)的確定，以及組合數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．